IP 2 à préparer pour le 4 Novembre

C'est ici que vous pouvez poser les questions concernant l'IP 2.

Bonjour j'aurais quelques questions à propos de l'IP.
-pour l'exercice 1: à la question trois faut il seulement calculer p[X<ou=3] ?
-pour l'exercice 4: ayant conjecturé que Sn= n/n+1 je ne sais pas comment faire ma récurrence.
-pour l'exercice 5: également un problème au niveau de la récurrence, après avoir multiplié par 2 et obtenu 2^n+1>2n^2 je ne trouve pas comme prouver que 2n^2 est supérieur à n^2+2n+1...
Merci d'avance.

Exercice 1 A question 3.
Non il s'agit d'une probabilité conditionnelle : On sait que X >= 2 et on cherche p(X <=3).
Donc ici il faut appliquer la formule avec la probabilité de l'intersection .
De plus [X >=2] inter [X<=3] c'est [X=2] ou [X=3].

Exercice 4.
Ta conjecture est exacte.
Il faut remarquer que Sn+1 c'est somme de k = 1 à n+1 de 1/(k(k+1)) soit somme de 1 à n de [ 1/(k(k+1)) ] auquel on ajoute le dernier terme soit 1/((n+1)(n+2)) . Et la somme de 1 à n c'est Sn.

Exercice 5
Il faut alors comparer 2n² et (n+1)². Pour cela on fait la différence, c'est un trinôme de degré 2 dont on trouve les racines et étudie le signe. C'est un exercice comparable à la démonstration dans le cours du lemme du théorème si q > 1 alors la limite de q^n = + infini.

Bonjour, merci pour ces réponses.
Du coup pour l'exercice 1 il faut calculer p([X>=2]inter[X<=3]) puis trouver p sachant [X>=2] de [X<=3] à l'aide de la formule du cours en ayant déjà p[X>=2] calculée à la question précédente?
J'ai également un peu de mal à comprendre l'exercice 2, dans la partie A faut il bien faire un tableau pour donner la loi de probabilité? Et dans la partie B je n'arrive pas à déterminer ce que représente X, je dirais qu'il s'agit du nombre de fois où A>=2 mais je ne suis pas sûre de moi. Pour finir, pour répondre à la question 2, faut il écrire un nouvel algorithme?

Oui pour l'exercice 1. Pour info on trouve P[X<=3] sachant [X>=2] = 0,573

Exercice 2
Partie A : Il faut faire effectivement un tableau pour la réponse. Le travail demandé consiste à dire random() appartient à [0 ;1] donc 4*random() appartient à [0 ; 4] cela pour les valeurs possibles de Y, puis pour le calcul des probabilités correspondantes, il faut mentionner que la fonction random() est homogène sur [0 ; 1].
Partie B : Dans cet algorithme la boucle nous fait réaliser N fois une expérience de Bernoulli : Y>= 2 ou pas. C'est donc bien ce que tu dis.
Pour répondre à la question 2, on fait comme d'habitude. On calcule P[X >=1] en fonction de n. (On trouve 1 - 0,25^n).
On utilise les variations de la suite n --> 0,25^n décroissante ou bien n --> 1 - 0,25 ^n croissante et on utilise la table de la calculatrice. C'est une sorte de dichotomie. Voir le TD 8 Exercice d'application (le premier !) B.

bonjour, je ne comprend pas comment faire la partie B de l'exercice 1, pourriez vous m'aider svp

J'aurais préféré une question plus précise.

Je vais te donner les réponses de la question 1° pour commencer.
C'est une question très simple : c'est l'interprétation de l'énoncé.
Puisqu'il a participé à 65% des matchs, p(J) = 0,65
Puisqu'il a participé à 55% des matchs gagnés on une probabilité sachant G, p_G(J) = 0,55
Puisque l'équipe perd 40% des matchs pour lesquels il joue on a une probabilité sachant J, p_J(G barre) = 0,4

La question d'après, on demande p_J(G) qui est la probabilité contraire de p_J(G barre)...

Pour la 2.b il faut utiliser alors la formule de la probabilité de l'intersection en fonction de la probabilité conditionnelle.
On trouve p(J inter G) = 0,39

Pour la suite le calcul de p(G) se fait en utilisant encore cette formule de l'intersection ainsi : p(J inter G) = p(G) * p_G(J) égalité dans laquelle on connaît tout sauf p(G). On trouve p(G) = 0,709.

La difficulté de l'exercice vient du fait qu'il ne peut pas être traité avec un seul arbre. Les 3 probabilités de l'énoncé ne peuvent être représentées qu'en faisant deux arbres : un commençant par G et G barre puis en deuxième niveau J et J barre et l'autre l'inverse on commence par J et J barre et en deuxième niveau on a G et G barre.

Je te laisse chercher un peu la suite, mais n'hésites pas à poser des questions si tu n'y arrives pas.

merci pour ces réponses, en fait j'avais du mal a la commencer. Et pour l'exercice 3 partie A doit on faire les 2 méthodes ou seulement une ?

Bonjour, pourriez-vous m'aider pour la partie A de l'exercice 2. Pour le tableau, je n'ai très bien compris comment obtenir les probabilités des différentes valeurs de Y. Que signifie une fonction homogène sur un intervalle ?
Aussi, pour la partie B. 1 (toujours de l'exo 2), pour les paramètres de la loi binomiale, que vaut p ? Je ne sais pas comment le trouver. Merci d'avance.

Bonjour,
Pourriez vous m'aider pour l'exercice 5  svp .je ne comprends pas.Merci d'avance

Réponse à Yani : Exercice 3 partie A, ici je souhaite que vous sachiez traiter les deux méthodes.

Réponse à Maéva : Exercice 2, Partie A.
Tu fais référence à la réponse que j'ai déjà faite sur cette question.
Homogène dans [0 ; 1] signifie que la probabilité par exemple de tomber entre 0 et 0,1 est la même que de tomber entre 0,5 et 0,6 de même entre 0,9 et 1.
(Cette probabilité vaut ici 1/10)
Comme on a multiplié par 4, les probabilités que 4 * random() soit dans [0 ; 1[ , ou dans [1,2[, ou encore dans [2,3[ ou enfin dans [3 ,4[ sont toutes les mêmes et égales à 1/4. Après tu vois ce que cela donne avec la partie entière.
Pour la partie B, p= proba(E(4 * random() + 1)) >= 2 soit p(Y>= 2). Facile après avoir traité la partie A.
... On trouve p = 0,75...

Réponse à Aissa :
Exercice 5 question 1° : Quel est le premier entier après 2 tel que 2ⁿ > n⁴. Sur le tableau donné jusqu'à n = 12 cela ne se produit pas encore. On peut utiliser la table de la calculatrice en définissant deux fonctions : x --> x⁴ et x --> 2 ^x. On part de x = 2 et on met un pas de 1. On va voir qu'à partir d'un certain x, 2 ^x va dépasser x⁴. C'est cette valeur qui est la valeur demandé de n.
Exercice 5 question 2°, prévoir un algorithme avec une boucle tant que 2ⁿ <= n^p faire . Et cette boucle ne fait qu'une chose, on augmente n de 1. En initialisation on entrera p, et on mettra n à 2. Pour vérifier le bon fonctionnement de cet algorithme, on peut entrer p = 4, et on doit retrouver le résultat de la question 1.
Pour la question 3, j'ai donné une première indication précédemment.

Bien sur, n'hésitez pas à insister si mes réponses ne suffisent pas !

bonjour, dans la partie B de l'exercice 3 je ne comprend pas comment faire pour trouver les réels lambda pourriez vous m'aider svp ?

Bonsoir,

Réponse à Yani :
Tu dérives Q et tu tombes sur 2P.
Donc connaissant le signe de P tu connais celui de Q'.
Tu construis le tableau de variation de Q.
Tu remarques que Q admet un minimum en x = 1/4.
Q(x) est toujours positif si et seulement si, son minimum est positif. Or ce minimum c'est Q(1/4).
J'ai trouvé Q(x) toujours positif pour Lamda > 131/128.

merci pour cette réponse