DM 5 à préparer pour la rentrée de Février

C'est donc ici que j'attends les questions concernant le DM 5

Bonjour,
J'ai du mal à répondre aux questions 3 et 4 de l'exercice 2 est ce que vous pourriez me donner des indications ?
Merci d'avance.

Exercice 2 question 3°, dans l'inégalité 1+x < exp(x) remplacer x par 1/n puis mettre tout à l'exposant n.
On démontrera ainsi la première inégalité de (E ) : (1 +1/n)^n< e
Pour la deuxième inégalité de (E ) utiliser cette fois exp(X) < 1/(1-X) prouvé avant.
Attention vérifier que chaque fois 1/n est dans le domaine de validité des inégalités prouvées en 1° et 2°

Exercice 2 question 4° on majore e -un par (1 + 1/n)^n+1-(1+1/n)^n et on factorise et on utilise la majoration (1+1/n)^n<e<3

Bonjour, je bloque sur la première question de l'exercice 1, pouvez vous m'aider svp ?
merci d'avance

f(x)=0 <=> x = exp(-x)
Puis tu remarques que exp(-x)= 1/exp(x)
Et enfin si a et b sont non nuls, on a : a= b <=> 1/a= 1/b

bonjour, je bloque sur la question 3 de la partie B, je n'arrive pas a déduire que g est croissante sur [0;alpha] pouvez vous m'aider svp

Dans le calcul de g'(x) (Forme u/v), à la fin mettre exp(x) en facteur au numérateur. Ainsi on fait apparaître -f(x).
Donc g'(x) du signe de -f(x).

Bonjour, pour la question 3 de l'exercice 2 pour la deuxième inégalité je retrouve le même résultat qu'avec l'inégalité 1 c'est à dire que e > (1+1/n)^n et du coup je ne retombe pas sur ce qu'il faut prouver . Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

C'est un peu de ma faute : je ne t'ai pas donné la bonne indication dans ma précédente réponse.
Pour cette question il faut poser x = 1/(n+1). Et puis on élève les deux membres de l'inégalité à l'exposant n + 1 car x --> x^(n+1) est croissante sur les réels positifs.

Bonjour, pouvez vous m aider pour la partie c de l exercice 1, je n arrive pas à déterminé Un? Merci

Camille BONNEFOUX

Avec un peu de retard ! Excuse moi ! Mais je ne comprends pas ta question. Merci de préciser un peu.
Si c'est la question 1° de la partie 3, on fait une récurrence en utilisant le fait que la fonction g est croissante entre 0 et alpha.

Bonjour, je ne comprends pas la récurrence de lAP 11, en particulier au niveau du "donc" 3-(0/2)>=3-(nUn)/2.....Pouvez vous m'expliquer ? Merci

Tout d'abord on remarque : (n+1)Un = (6 - nUn)/2
Normalement on part de 0 <nUn < 3
Donc -3 < -nUn < 0
Donc en ajoutant 6 : 3 < 6 -nUn <6
On divise par 2 : 1,5 < (6 - nUn)/2 < 3 donc : 0 < (6 - nUn)/2 < 3 et donc 0 < (n+1)Un < 3